Société des enseignants
BULLETIN No 25 / Interdisciplinarité |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Fibonacci et nombre d'or en botaniqueJean-Luc Bovet, Auvernier |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Une manière de voir et de comprendre le mystère de l'arrangement géométrique qu'utilisent un grand nombre d'espèces végétales. Beaucoup d'espèces végétales arrangent
certains de leurs éléments dans une disposition
très précise et esthétiquement merveilleuse :
La liste n'est pas exhaustive. ![]()
Comptage des spires
![]()
Spirale en construction
Cette disposition a un peu l'allure de la figure ci-dessus, formant deux ensembles de spires, l'un tournant dans le sens positif et l'autre dans les sens négatif. Si l'on compte le nombre de spires dans un sens et dans l'autre (ici: 34 dans un sens et 55 dans l'autre), on constate avec une certaine stupéfaction qu'on tombe invariablement sur deux nombres consécutifs de la suite de Fibonacci: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ... et jamais sur d'autres nombres. La suite de Fibonacci commence par deux 1 et chaque terme ultérieur est la somme des deux précédents. Pourquoi en va-t-il ainsi ? Il m'est apparu (après de nombreuses heures de contemplation méditative sur une pive) que ces espèces végétales procèdent de la manière suivante : elles implantent leurs écailles (ou feuilles ou graines) sur une spirale très lente en créant un objet tous les 137.50776°. ![]() Ce nombre 137.50776 n'est pas n'importe quoi : C'est l'angle correspondant à la division de la
circonférence en deux parties
proportionnelles à 1 et
![]() Dès lors apparaissent de manière automatique des spires très visibles en nombres égaux aux termes de la suite de Fibonacci, termes d'autant plus grands qu'on est plus loin du centre. Une construction avec Cabri Géomètre
(construction pouvant être téléchargée)
permettra de se
convaincre qu'il s'agit bien du nombre d'or exact et non pas de
n'importe quel nombre
voisin comme c'est le cas dans de nombreuses élucubrations
d'ordre architectural ou
pictural où le nombre d'or intervient comme une valeur mystique
et sans aucune
justification. Dans la plus grande partie de ces théories (sinon
dans la totalité) on
pourrait remplacer Ici pas du tout : 1.6 donne une localisation des éléments catastrophique. On constatera en faisant jouer la construction réalisée avec Cabri Géomètre qu'il faut, pour une bonne disposition, être exactement sur le nombre d'or. On pourra rechercher cependant d'autres nombres favorables (pas aussi parfaits que le nombre d'or, mais presque). Par exemple
Il s'agit d'une manière générale de réels dont le développement en fractions continues (voir encadré) est lent, c'est-à-dire où les termes successifs sont petits. Le meilleur de tous ces nombres est Les fractions réduites En faisant fonctionner la construction réalisée
avec Cabri Géomètre, on rencontrera
deux nombres de spires successifs 31 et 50 au lieu des 29 et 47
attendus. Il se trouve
cependant que 31 et 50 sont la somme (numérateur +
dénominateur) des fractions
réduites Ce même principe s'applique fort bien à la suite de Fibonacci. Il semble donc bien que: Le nombre de spires est la somme
numérateur + dénominateur
Donc, pour résumer, si une figure obtenue par la pose
d'objets,
tous les Pour le nombre 1.27639, de développement 1, 3, 1, 1, 1,
1, 1..., l'angle ![]()
La construction réalisée
avec Cabri Géomètre
On remarque que le nombre de spires (66) correspond bien
à la
somme numérateur +
dénominateur d'un des termes de la suite des réduites Exemple d'une utilisation de la construction
Suite éventuelle dans un prochain numéro, en
fonction de
votre intérêt et de vos
contributions sur la question. Fractions continuesTout nombre réel ![]() On note La suite La suite des réduites |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(c) Jean-Luc Bovet, jeanluc.bovet (at) bluewin.ch Cet article a également paru dans le Bulletin de la Société Suisse des Professeurs de Mathématique et de Physique, no 89, 2002. |